人智基础-2025sp-猫雷作业

这是猫雷作业题喵。

附加题不考喵。

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第二、三章作业

1 将以下语句形式化表示为合适公式(谓词逻辑表示)

(1)有的人既喜欢梅花又喜欢菊花。
(2)所有人都有饭吃。
(3)兰州市的夏天既干燥又炎热。 (4)他每天下午都去玩足球。
(5)凡是喜欢编程序的人都喜欢计算机。
(6)新型计算机速度又快，存储容量又大。

A1

(1)有的人既喜欢梅花又喜欢菊花。

解：

定义谓词如下:

$Human(x)$ ： $x$ 是人
$Like(x, y)$ ： $x$ 喜欢 $y$
$(\exists x)( Human(x) \land Like(x, \text{Plum}) \land Like(x, \text{Daisy}) )$

(2)所有人都有饭吃。

解：

定义谓词如下:

$Human(x)$ ： $x$ 是人
$HaveFood(x)$ ： $x$ 有饭吃
$(\forall x) [Human(x) \rightarrow HaveFood(x)]$

(3)兰州市的夏天既干燥又炎热。

解：

定义谓词如下:

$Summer(x)$ ： $x$ 是夏天
$Dry(x)$ ： $x$ 干燥
$Hot(x)$ ： $x$ 炎热
$Dry((Summer(\text{Lanzhou}))) \land Hot(Summer(\text{Lanzhou}))$

(4)他每天下午都去玩足球。

解：

定义谓词如下:

$AtAfternoon(x)$ : $x$ 是下午
$PlayFootball(x)$ : $x$ 去踢足球
$(\forall x) [AtAternoon(x) \rightarrow PlayFootball(\text{Ta})]$

(5)凡是喜欢编程序的人都喜欢计算机。

解：

定义谓词如下：

$Human(x)$ : $x$ 是人类
$Like(x,y)$ : $x$ 喜欢 $y$
$(\forall x)(Human(x) \land Like(x, Programming) \rightarrow Like(x, Computer))$

(6)新型计算机速度又快，存储容量又大。

解：

定义谓词如下：

$NewComputer(x)$ : $x$ 是新型计算机
$Fast(x)$ : $x$ 速度快
$LargeMemory(x)$ : $x$ 存储容量大

(\forall x) [NewComputer(x) \rightarrow Fast(x) \land LargeMemory(x)]

2. 把下列语句表示为语义网络的描述

(1) 每个学生都学习C++语言。

(2) 红队和蓝队进行了一场篮球比赛，结局的比分是 65:70。

(3) 张三是科技公司的经理，他36岁，硕士学位，住在西海大街255号。

(4)

树和草都是植物；
树和草都是有根有叶的；
水草是草，且生长在水中；
果树是树，且会结果；
苹果树是果树的一种，它结苹果。

A2

图不好画，直接看答案吧。

3. 把以下合适公式化简为合取范式的子句集

(1)

\neg (\forall x)(\exists y)(\exists z) \left\{ P(x) \implies (\forall x) [Q(x, y) \implies R(z)] \right\}

(2)

(\forall x)(\exists y) \left\{ \left\{ P(x) \wedge [ Q(x) \vee R(y) ] \right\} \Rightarrow (\forall y) [ P(f(y)) \Rightarrow Q(g(x)) ] \right\}

(3)

(\forall x)(\exists y)\{P(x) \land [Q(x) \lor R(y)]\} \implies (\forall y)\{[P(f(y)) \implies Q(g(y))] \implies (\forall x)R(x)\}

A3

(1)

🧮 原公式

\neg (\forall x)(\exists y)(\exists z)\{P(x) \Rightarrow [\forall x](Q(x, y) \Rightarrow R(z))\}

第一步：去掉蕴含（Implication Elimination）

P(x) \Rightarrow [\forall x](Q(x, y) \Rightarrow R(z)) \equiv \neg P(x) \vee [\forall x](\neg Q(x, y) \vee R(z))

代入原公式中：

\neg (\forall x)(\exists y)(\exists z)\{\neg P(x) \vee [\forall x](\neg Q(x, y) \vee R(z))\}

第二步：将最外层的否定移入（使用德摩根律和量词对偶）

\neg (\forall x)(\exists y)(\exists z)\varphi \equiv (\exists x)(\forall y)(\forall z)\neg \varphi

应用于上式：

(\exists x)(\forall y)(\forall z)\neg\{\neg P(x) \vee [\forall x](\neg Q(x, y) \vee R(z))\}

第三步：对内部再消去否定

\neg\{\neg P(x) \vee [\forall x](\neg Q(x, y) \vee R(z))\} \equiv P(x) \wedge \neg [\forall x](\neg Q(x, y) \vee R(z))

继续化简：

\neg [\forall x](\neg Q(x, y) \vee R(z)) \equiv (\exists x)\neg[\neg Q(x, y) \vee R(z)] \equiv [\exists x](Q(x, y) \wedge \neg R(z))

代入：

(\exists x)(\forall y)(\forall z)\left\{P(x) \wedge [\exists x](Q(x, y) \wedge \neg R(z))\right\}

注意：内部的 $(\exists x)$ 与外部的 $(\exists x)$ 重名，为避免混淆，内部改名为 $x'$ ：

(\exists x)(\forall y)(\forall z)\left\{P(x) \wedge [\exists x'](Q(x', y) \wedge \neg R(z))\right\}

第四步：前束范式（Prenex Form）

目前为：

(\exists x)(\forall y)(\forall z)[\exists x'](P(x) \wedge Q(x', y) \wedge \neg R(z))

第五步：Skolem 化（Skolemization）

将存在量词替换为 Skolem 函数：

$(\exists x)$ ：保留为常量 $A$
$(\exists x')$ ：由于前面有 $\forall y, \forall z$ ，所以设 $x' = f(y,z)$

则：

(\forall y)[\forall z](P(A) \wedge Q(f(y,z), y) \wedge \neg R(z))

第六步：化为合取范式（CNF）

上式为量词前缀加合取公式，接下来去掉量词，拆分为子句：

\{P(A),\ Q(f(y,z), y),\ \neg R(z)\}

✅ 最终子句集

\{P(A),\ Q(f(y,z), y),\ \neg R(z)\}

总结过程回顾

去蕴含：将 $\Rightarrow$ 改写为 $\neg A \vee B$
使用德摩根与量词对偶：将外层否定逐步移入
逻辑化简：合并否定项，内外变量区分
前束范式：提取所有量词到前缀
Skolem 化：消除存在量词，引入常量或函数
合取范式（CNF）：拆分成子句集

Skolem 变换的知识如下

以免你忘了 Skolemization

(2)

好的，以下是对题（2）中公式的**从原始形式化简为合取范式子句集（CNF）**的完整解析过程。

🔢 原公式

(\forall x)(\exists y)\left\{ P(x) \land [Q(x) \lor R(y)] \Rightarrow [\forall y](P(f(y)) \Rightarrow Q(g(x))) \right\}

🧮 第一步：消去蕴含符号（Implication）

回忆：

A \Rightarrow B \equiv \neg A \lor B

所以：

P(x) \land [Q(x) \lor R(y)] \Rightarrow [\forall y](P(f(y)) \Rightarrow Q(g(x))) \\ \equiv \neg \left( P(x) \land [Q(x) \lor R(y)] \right) \lor [\forall y](\neg P(f(y)) \lor Q(g(x)))

🧮 第二步：德摩根定律展开

\neg(P(x) \land [Q(x) \lor R(y)]) \equiv \neg P(x) \lor \neg[Q(x) \lor R(y)] \equiv \neg P(x) \lor (\neg Q(x) \land \neg R(y))

所以整个公式变为：

(\forall x)(\exists y)\left\{ (\neg P(x) \lor \neg Q(x) \land \neg R(y)) \lor [\forall y](\neg P(f(y)) \lor Q(g(x))) \right\}

🧮 第三步：重新组织逻辑结构（析取优先级处理）

(\neg P(x) \lor \neg Q(x) \land \neg R(y)) \lor [\forall y](\neg P(f(y)) \lor Q(g(x)))

因含有“析取与合取混用”，需要使用分配律：

(\neg P(x) \lor \neg Q(x)) \land (\neg P(x) \lor \neg R(y))

所以整个公式为：

(\forall x)(\exists y)\left\{ (\neg P(x) \lor \neg Q(x)) \land (\neg P(x) \lor \neg R(y)) \lor [\forall y](\neg P(f(y)) \lor Q(g(x))) \right\}

接下来将其标准化。

🧮 第四步：引入新变量统一量词（避免变量名冲突）

将两个 $\exists y$ 和 $\forall y$ 区分：外层 $\exists y$ 改为 $h(x)$ ，内层 $\forall y$ 改为 $w$

并进行 Skolem 化（消除存在量词）：

$\exists y$ 变为 $y = h(x)$
保留 $\forall x$ 、 $\forall w$

所以现在是：

(\forall x)(\forall w)\left\{ (\neg P(x) \lor \neg Q(x)) \lor (\neg P(x) \lor \neg R(h(x))) \lor [\neg P(f(w)) \lor Q(g(x))] \right\}

将其合取拆开得到两个子句（使用分配律）：

🧮 第五步：拆为 CNF 子句集（Conjunctive Normal Form）

组合并展开所有析取：

\begin{aligned} &(\neg P(x) \lor \neg Q(x) \lor \neg P(f(w)) \lor Q(g(x))) \\ &(\neg P(x) \lor \neg R(h(x)) \lor \neg P(f(w)) \lor Q(g(x))) \end{aligned}

然后将量词去除（变为无量词子句集），变量重命名如下：

$x \to x_1$ ， $w \to w_1$ （第一句）
$x \to x_2$ ， $w \to w_2$ （第二句）

✅ 最终 CNF 子句集

\{ \neg P(x_1) \lor \neg Q(x_1) \lor \neg P(f(w_1)) \lor Q(g(x_1)), \\ \neg P(x_2) \lor \neg R(h(x_2)) \lor \neg P(f(w_2)) \lor Q(g(x_2)) \}

或者用集合形式表示：

\{ \{ \neg P(x_1), \neg Q(x_1), \neg P(f(w_1)), Q(g(x_1)) \}, \\ \{ \neg P(x_2), \neg R(h(x_2)), \neg P(f(w_2)), Q(g(x_2)) \} \}

🔁 总结步骤

去掉蕴含符号： $\Rightarrow$ → $\neg A \lor B$
应用德摩根律： $\neg (A \land B) \Rightarrow \neg A \lor \neg B$
标准化变量：避免量词冲突
Skolem 化：去掉存在量词，引入函数符号
合取范式 CNF 化：变为析取项组成的合取子句集

4. 计算下述各子句对的归结式，若没有，则得出“无法归结”

(1)

C_1: P \lor R, \quad C_2: \neg P \lor Q

(2)

C_1: \neg P \lor Q, \quad C_2: P

(3)

C_1: \neg P \lor Q \lor R, \quad C_2: \neg Q \lor \neg R

(4)

C_1: \neg P \lor Q, \quad C_2: \neg P \lor R

(5)

C_1: Q, \quad C_2: \neg Q

5. 考虑下面的句子

(1) 每个程序都存在BUG
(2) 含有BUG的程序无法工作
(3) P是一个程序
使用归结反演证明P不能工作

（注： $BUG(X)$ — $X$ 存在BUG, $Program(X)$ — $X$ 是程序, $Work(X)$ — $X$ 能工作）

6. 假设已知下列事实

(1) 小李（Li）喜欢容易的（Easy）课程（Course）。
(2) 小李不喜欢难的（Difficult）课程。
(3) 工程类（Eng）课程都是难的。
(4) 物理类（Phy）课程都是容易的。
(5) 小吴（Wu）喜欢所有小李不喜欢的课程。
(6) $Phy200$ 是物理类课程。
(7) $Eng300$ 是工程类课程。

请用归结反演法回答下列问题：
(1) 证明小吴喜欢 $Eng300$ 课程
(2) 小李喜欢什么课程？

第四、五章

1

对于八数码难题按下式定义评价函数： $f(x)=d(x)+h(x)$ ，其中 $d(x)$ 为节点 $x$ 的深度； $h(x)$ 是节点 $n$ 与目标状态节点比较，错位棋牌在不受阻拦的情况下，移动到目标状态相应位置所需走步（移动次数）的总和。

初始状态（ $S_0$ ）：

\begin{array}{ccc} 2 & 8 & 3 \\ 1 & 6 & 4 \\ 7 & & 5 \end{array}

目标状态：

\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 8 & & 4 \\ 7 & 6 & 5 \end{array}

(1) 用 A*算法搜索目标，请列出前 3 步搜索中 OPEN、CLOSED 表的内容。

循环	OPEN	CLOSED
初始化
1
2
3

(2) 画出搜索树，并在图中标注所有节点的评价函数值。

2

对于规则 $P \Rightarrow Q$ ，已知 $p(Q)=0.04, LS=100, LN=0.4$ ，利用主观 Bayes 方法求出 $P(Q/P)$ 和 $P(Q/\neg P)$ 。

3

已知规则如下：

R1: \text{IF } E1 \text{ THEN } H \ (0.8)

R2: \text{IF } E2 \text{ THEN } H \ (0.6)

R3: \text{IF } E3 \text{ THEN } H \ (-0.5)

R4: \text{IF } E4 \text{ AND } (E5 \text{ OR } E6) \text{ THEN } E1 \ (0.7)

R5: \text{IF } E7 \text{ AND } E8 \text{ THEN } E3 \ (0.9)

在系统运行中已从用户处得：

$CF(E2) = 0.8$ , $CF(E4) = 0.5$ , $CF(E5) = 0.6$ , $CF(E6) = 0.7$ , $CF(E7) = 0.6$ , $CF(E8) = 0.9$ 。

求 $H$ 的综合可信度 $CF(H)$ 。

4

设学生考试成绩的论域为 $\{A, B, C, D, E\}$ ，小王成绩得 $A$ 、得 $B$ 、得 $A$ 或 $B$ 的基本概率分别分配到 $0.2$ 、 $0.1$ 、 $0.3$ ， $\text{Bel}(\{C, D, E\})$ 为 $0.2$ ；请给出 $\text{Bel}(\{A, B\})$ 、 $\text{Pl}(\{A, B\})$ 和 $f(\{A, B\})$ 。

附加题

5

在应用递归回溯算法解决四皇后的问题中，若按行的序号从小到大试探性放置各列的皇后，请画出搜索图，并指出分别从算法第 2 步和第 4 步回溯的次数。

老师发的答案如下

点击下载 | 人智基础-2025sp-猫雷作业答案

有点累，先睡个觉，起来再写。